calculo integral: Figuras Amorfas

Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estima resta área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGRr1Fmfas3HEXidyz3j3QnhRPalBbq2FY2r4BDy4eaWHeM9GURe17t2lP6WyiOXNnBxuZ1AUkx_gVnYTswntTAGWSlcrsAMKfAf59bHaXeA52urqNVY2QRinAikxAwPZfAtMb-Cx4eKki/s320/Imagen12.png

Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSNBv4H735cbiMrhfTeG7fvgdrg9sBq59hSsK_6aW7_5t3Fo9lcJnUpHv2tfHSy4F9LiHqX-7MpEBwevku5dSCcqg4nQbGtfVl7xL1X1xwxrONk339fFmvSFPhs2OYvAFVaE9aMWyn4AZa/s320/Imagen13.png

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dy para la altura y x para la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3Us5Fb4i3kmAvD5_IZGgPau5psxFGCv0Sg-xS6rgA3MsL7Hn7EiG5u9LsNmfjLMtd1kbq0GW_Rj7hQMc1H3BrYdI49Db1Oh3buHM2sQCAE7RCnwkMof9ek1uzCIa9328Hw_rJXSnXqqXH/s1600/Imagen14.png

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Notación Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye la suma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usa dolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.

Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria.

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHFuUN-7RZ7xhtTaROrJNyuhSuiO9VH_WUmCR2S4tPQvo3nGSoWMg_BPzEn6ZVJKy_NusTb73S6BzjGIRdjM-jJjc7-kMHB6ZhPNAFbxAMgj2GQek699OWDoZDuQ5NUh9pcYgxZcPD5Upb/s1600/Imagen9.png

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria utilizando el símbolo sumatorio se representa,

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQSSlVnYm5G9_1HpRQXy79_QJrUEnaCQVyVpJIznlBS0oWy3Dmq2cipPFxuNyjQJq9-V6qQ8uOsa-_cGYHNjIOMdzwzWQEdL-Y0X03i0dtVantUEapH_nT0bXoF9qlINpUnD1huYCLrzhp/s1600/Imagen10.png

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria.

El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.

La expresión mostrada arriba se calcula como,

= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn

Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Tal operación se puede denotar como,

Sumas de Riemann

Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que para Después de haber estudiado los gráficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cómo encontrar el área bajo la curva de un gráfico. El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemann por la izquierda, suma de Riemann de punto medio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se puede definir como una función valorada real f: X < x1< x2< x3< x4< … < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann será,

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivoLGyydXInCNq_Fg9l22E_RYRfIEdBbXdW9aFaiStxv4kKRF4lfRYIH2C6IfTziHX7Rmoj44RFJGEzlTdG1PnjlqNTrUY5O1lyVyHH43bO_Yakc32Z8NQzDbt2tvl-miX5qK5iyDPw58K/s320/Imagen7.png

Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor más pequeño. Y es un valor arbitrario en el sub intervalo ith. El tamaño de la malla de partición es el mayor valor de (xi - xi-1). Para calcular la suma de Riemann por la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de yi. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de xi igual al valor de yi. Si el valor de yi se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto medio como resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha.

NOTACION SUMATORIA

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Dada una sucesión:

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...$

Ésta se puede representar como la suma de los

primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega $\sum$ (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}$

La ecuación anterior se lee la "suma de $a_{k}$ desde

hasta

." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros

, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de todas las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: $\Delta x =\frac{b-a}{n}$