Integración
indefinida
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f,
es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita
primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo,
admite una infinidad,
que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son
dos primitivas de f, entonces existe un número real C,
tal que F1 = F2 + C.
A C se le conoce como constante de integración. Como
consecuencia, si F es una primitiva de una función f,
el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho
conjunto se le llama integral
indefinida de f y se representa como:
Ó 
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por
tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están
relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo,
y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas
funciones.
Métodos
De Integración
Se entiende por métodos de
integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para
calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x),
los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite
encontrar una función F(x) tal que
lo cual, por el teorema
fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su
derivada: 
Calculo De Integrales
Indefinidas
Cálculo de Integrales Indefinidas
El cálculo de la integral
indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al
final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración
ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la
solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del
integrando dado.
La forma más fundamental
para computar la integración de un integrando dado es,
Aquí el valor de n no debe ser igual a −1.
Para integrar un integrando
de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente
el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en
el denominador de la variable dada.
Está bastante claro que el
valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del
denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la
integración es,
Esto significa que la
integración de una constante producirá la variable de integración como salida
con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de
integración las cuales se utilizan directamente para la integración de
funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas,
etc.
Es fundamental tener en
cuenta que el método de integración de la multiplicación o la división de dos o
más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos
con la suma o resta de dos o más funciones. Para integrar la multiplicación de
funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integración
de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente.
El cálculo por sustitución
es un importante método del cálculo de integrales indefinidas. Este método es
utilizado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de integración
simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante
para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para
cualquier función f(x) el integrando es la multiplicación de la diferenciación
de f(x) y función de f(x) como se muestra a continuación,
Tenemos g(x) como la función principal. Ahora
reemplazamos g(x) con a lo que producirá,
g(x) = a
g’(x) = da/ dx
da = g’(x) dx
Los valores anteriores
pueden ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se
puede seguir como es usual para el nuevo integrando. Por último, sustituimos de
vuelta los valores reemplazados dentro de la expresión para obtener la
respuesta final.
Para analizar si la
sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúrese que después
de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable
original de la integración desaparezca completamente del integrando.
Generalmente no obtenemos el
problema de la forma exacta que se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos
primero que modificarlo a una forma en que la sustitución pueda llevarse a
cabo.
Veamos ahora un ejemplo para
entender el proceso de resolver integraciones indefinidas.
5ex
+ cos(x) – 5 sec2(x) dx
= 5ex + sin(x) – 5 tan(x) +
c
Integrales Indefinidas
Directas
Integrales Indefinidas Directas
La integración indefinida es
el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en
matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que
no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas
ecuaciones importantes de física, electrónica, etc. que son altamente
utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto
del límite superior como del límite inferior, la integración indefinida no
proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una
ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos
disponibles para resolver las integrales indefinidas.
El más simple entre todos
estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la
fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de
integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes
tanto para la integración indefinida como para la integración definida.
Existen principalmente
cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas,
funciones logarítmicas y funciones polinómicas.
Una integral indefinida se
define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de
integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa
los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es
diferenciada.
Puesto que la integración es
la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.
Esta es una constante
arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para
satisfacer la función dada.
Funciones Polinómicas
Existe una serie de otras
fórmulas en esta categoría también. Función exponencial: 
Integrales
Indefinidas Con Cambio De Variable
La integración mediante el
cambio de variable o por sustitución se encuentra entre uno de los métodos de
integración más poderosos.
Es conocido por todos que la
integración es el proceso contrario de la diferenciación, en esta perspectiva
la integración con cambio de variable es el proceso contrario de la
diferenciación llevada a cabo a través de regla de la cadena.
La integración a través de
la sustitución se realiza cuando el integrando dado es de la forma,
Es decir se nos provee una
función primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta función
primaria y función de esta función primaria.
Sin embargo, no siempre es
el caso que el integrando sea dado directamente en la forma que podamos aplicar
directamente la regla de la sustitución, hay situaciones en las que primero
tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la
fórmula de sustitución.
Los pasos para realizar el
método de sustitución para las integrales indefinidas son los siguientes.
1.
Identificar la función primaria g(x).
En
caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie
de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros métodos para convertirlo en
la forma deseada.
2. Sustituya la función
primaria g(x) por alguna variable, digamos a,
3. Esta diferenciación
produciría
4. Sustituya estos valores
en la expresión real para modificar el integrando como,
5 En caso de que la variable
original todavía exista en el integrando, entonces sencillamente usamos la
definición de a desde el paso inicial para la variable real en términos de la
nueva variable.
6. Finalmente integre este
integrando.
7. Después de obtener la anti
derivada de este integrando, sustituya la variable original en la anti derivada
obtenida.
Puede parecer que los pasos
para la realización de este método son los mismos tanto para la integración
indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que
es esencial entender.
Primeramente en el caso de
una integración definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el
límite superior, así como el límite inferior de integración.
Esto se hace porque se han
sustituido las variables del integrando y por lo tanto los límites de
integración tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos límites de
integración.
En segundo lugar, en el caso
de la integración indefinida, tenemos que volver a colocar de nuevo la variable
original para el integrando de manera que la solución final sea en términos de
la variable real.
Mientras que para la
integración definida ponemos al final los valores del límite superior e
inferior en la expresión para obtener la respuesta numérica.
Integrales Indefinidas Trigonométricas
Al igual que las funciones
logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser
integradas.
Existe un conjunto separado
de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para
las funciones trigonométricas inversas.
Estas fórmulas pueden ser
utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.
Aparte de eso las
identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la
solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la
sustitución.
Las integrales de las
funciones trigonométricas se enumeran a continuación.
Con excepción de las últimas
cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus
respectivas derivadas. Las últimos cuatro fórmulas son obtenidas utilizando las
identidades trigonométricas y la integración a través de la sustitución.
Mientras calculamos un
determinado integrando trigonométrico es esencial el seguimiento de una
estrategia como se describe a continuación.
1. Si la función seno es
elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función seno separada
y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función coseno y por
lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al
igualar el coseno a la nueva variable.
2. Si la función coseno es
elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función coseno
separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función seno
y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al
igualar el seno a la nueva variable.
3. En el caso que tanto la
función seno como la función coseno se eleven a un exponente par entonces las
identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando
completo dentro de los términos de la función coseno.
4. Otras identidades, tales como,
también pueden ser
utilizadas en los lugares requeridos.
5. Si la función secante es
elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función secante
separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función
tangente y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la
sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.
6 .Si la función tangente es
elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función sec (x) tan(x)
separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función
secante y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la
sustitución al igualar la secante a la nueva variable.
Integración
Indefinida por Partes
La mayoría de las veces la
gente intenta usar las fórmulas de integración de la suma o la resta de dos
funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce
resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta. Como ejemplo,
Un
error común cometido por las personas que observan una expresión de este tipo
sería
El
cual es sin embargo un enfoque equivocado.
Para
entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.
En
tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.
Para
resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración por
partes.
Como
es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la
integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la
diferenciación.
La
fórmula general para la integración por partes,
La Integración por
partes se desarrolla de la siguiente manera,
1 Trace las dos funciones primarias
para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda
función primaria, sea esta g(x) no es real asumirla como una.
2 Ahora las funciones secundarias se
colocarán en el lugar de las primarias como se describe a continuación,
y 
3 Luego integre
cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función. Cualquiera de las
dos pueden ser integradas o diferenciadas.
4 Ahora aplique la
fórmula de integración por partes como,
Esto puede parecer
bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda.
ln(x) dx
Dado que sólo una de
las funciones primarias está ahí se puede asumir que la segunda es 1.
Ahora sea ln (x) = u
y 1.dx = dv.
Luego diferenciando
la primera función e integrando la segunda obtenemos,
du = 1 / x dx
v = x
Colocando los
valores anteriores en la expresión real tenemos que,
x * 1 / x dx = dx
x + c
Por tanto la solución final es x * ln (x) - x
+ c
Integrales Indefinidas por Sustitución
Trigonométrica
La
sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se
conoce como sustitución trigonométrica.
Existen
ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que
podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica.
Algunos
de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a
lugar.
Es
muy importante identificar el tipo de integrados donde hacer una sustitución
trigonométrica es la mejor opción.
Por
lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y
debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser
sustituidas por una función trigonométrica.
También
es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas para
poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una función tal que,
Un
error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es
reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea.
También
podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual
podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación sería una buena
elección.
(sigma mayúscula,
que corresponde a nuestra S de "suma" ). La notación
sigma es de la siguiente manera: 
desde 
." La tetra k es
el índice de la suma o variable de la sumatoria y
se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros
haciendo
de esta como un promedio entre la suma 
