SERIES
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos
formados según una ley determina.
Por ejemplo, 1,4, 9, 16, 25.
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así
de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:
1+4+9+16+25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la
sucesión o series finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la
sucesión o serie de llamada sucesión infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que
indica la ley de formación de los términos.
SERIE
INFINITA
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor
de absolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números
reales a0, a1, .... , an,... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se
obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma
S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este
último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que
convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real
x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto
conduce al siguiente:
Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor
x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô
.
SERIE
FINITA
Sucesión de números tales que la proporción entre
cualquier término (que no sea el primero)
Y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por
ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión
geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión
geométrica con razón 1.
La primera es una
progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión
geométrica infinita.
SERIE
NUMÉRICA Y CONVERGENCIA. PRUEBA DE RAZÓN Y RAÍZ.
Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o
eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados
elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama
la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y
exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes
posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
SERIE
DE POTENCIAS
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de
la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de
la forma:
Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
Donde 
Es decir
Es interesante
saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series
funcionales se convierten en series numéricas convergentes.
SUCESIONES Y SERIES
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
 |
Finita o infinita
Si la sucesión
sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1,
2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20,
25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1,
3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión
infinita)
{4,
3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1,
2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a,
b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a,
l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s
y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En
orden
Cuando decimos que
los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué
orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es
muy parecida a un conjunto,
pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede
aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que
alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue
una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo:
la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero
la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza
por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
- 10º
término,
- 100º
término, o
- n-ésimo
término (donde n puede ser cualquier número
positivo que queramos).
Así
que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la
posición que tiene el término).
Entonces,
¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que
la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser
"2 × n". Vamos a verlo:
Probamos
la regla: 2n
|
n
|
Término
|
Prueba
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|
1
|
3
|
2n =
2×1 = 2
|
|
2
|
5
|
2n =
2×2 = 4
|
|
3
|
7
|
2n =
2×3 = 6
|
Esto casi funciona...
pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo
que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos
la regla: 2n+1
|
n
|
Término
|
Regla
|
|
1
|
3
|
2n+1 = 2×1 +
1 = 3
|
|
2
|
5
|
2n+1 = 2×2 +
1 = 5
|
|
3
|
7
|
2n+1 = 2×3 +
1 = 7
|
¡Funciona!
Así que en vez de
decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La
regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por
ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más
fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
|
|
Posición
del término
|
 |
Es normal
usar xn para los términos:
|
|
|
Así que para hablar del "quinto
término" sólo tienes que escribir: x5
|
Entonces podemos
escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn =
2n+1
Ahora, si queremos
calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 =
2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular
el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus
reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones
aritméticas
El ejemplo que
acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión
aritmética), porquela diferencia entre un término y el siguiente es una
constante.
Ejemplos
|
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
|
Esta sucesión
tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
|
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
|
Esta sucesión
tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones
geométricas
En una sucesión
geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número
fijo.
Ejemplos:
|
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
|
Esta sucesión
tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
|
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
|
Esta sucesión
tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
|
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
|
Esta sucesión
tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones
especiales
|
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
|
Esta sucesión se
genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero
es más fácil usar la regla
xn =
n(n+1)/2
Ejemplo:
- El
quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el
sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números
cuadrados
|
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
|
El siguiente
número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La
regla es xn = n2
Números
cúbicos
|
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
|
El siguiente
número se calcula elevando al cubo su posición.
La
regla es xn = n3
|
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
|
El siguiente
número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La
regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es
interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º
término se calcularía así:
x6 =
x6-1 + x6-2 = x5 + x4 =
5 + 3 = 8
Series
"Sucesiones"
y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie
es la suma de una sucesión.
Sucesión:
{1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 =
10
Las series se
suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos
todos":
 |
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
|
|
|
|
 |
Esto significa "suma los cuatro primeros
términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |
SERIE
DE TAYLOR
Si la función f y sus
primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x,
entonces el valor de la función esta dado por:
Con frecuencia es
conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 -
xi expresando la serie de Taylor como:
Uso de la expansión en serie
de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.
REPRESENTACIÓN
DE FUNCIONES MEDIANTE SERIE DE TAYLOR
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas
son continuas en un intervalo que contiene a y a x, entonces el valor de la función en un
punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función
exponencial y función Coseno.
Función e
Se puede aplicar la ecuación
de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de
tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es
derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a
tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la
función e.
Después se tiene que
sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que
"a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que
resultados da.
f(x)=e(x).... f(
REPRESENTACIÓN
DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR
En matemáticas, una serie de
Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida
en un intervalo abierto (a-r, a + r).
Si esta serie converge para
todo x perteneciente al intervalo (a-r, a + r) y la suma es igual a f(x),
entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie
converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de
Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una
serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los
determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le
llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La
derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a
término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular
valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la
transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación
posible.
Definición:
La serie de Taylor de una
función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en
un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias que puede
ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n y f
(n)(a) denota la enésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es
definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Ejemplo 1:
Calcule la serie de
maclaurin para 
Solución:
Si 
para toda x, por tanto, 
para toda n. así, de la ecuación de maclaurin
se tiene la serie de maclaurin:
para toda x, por tanto, para toda n. así, de la ecuación de maclaurin
se tiene la serie de maclaurin:
Ejemplo 2:
Obtenga la serie te Taylor
para sen x en a.
Si ƒ(x) = sen x, entonces
ƒ`(x) = cos x, ƒ“(x) = -sen x, ƒ““(x) = -cos x, 
(x) = sen x, y así sucesivamente. De este
modo, de la fórmula de Taylor, 
la serie de Taylor requerida
se obtiene del teorema serie de Taylor.
(x) = sen x, y así sucesivamente. De este
modo, de la fórmula de Taylor, la serie de Taylor requerida
se obtiene del teorema serie de Taylor.