ejercicios resueltos de áreas planas
1) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
2) Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
3) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
4) Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
5) Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
6)Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
7) Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
8)Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
9)Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
10)Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
Longitud del arco
La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:
Ejemplo
Hallar la longitud del arco de curva 
en el intervalo [0, 1].
en el intervalo [0, 1].
2)
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
Se representa por 
.
.
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integrales definidas
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
volumen
Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
1)Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
3) Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.
4) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.
5)Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
6)Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.
7)Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, i = x.
Puntos de intersección:
La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.
8)Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.
El centro de la circunferencia es C(2, 0) y el radio r = 1.
Puntos de corte con el eje OX:
9) Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse 
alrededor del eje OX.
alrededor del eje OX.
Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco 
entre x = 0 y x = a.
entre x = 0 y x = a.
10) Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
calculo de centroides
En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.
Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.
Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.
Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.
El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.
Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.
Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.
Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.
Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.
Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.
Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total
Área total
= 
Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a
Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.
Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.
Aplicando la fórmula, 
. Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3
. Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3x (x3 - 0) dx (x3 - 0) dx
= x4 dx
x3 dx
= [x5 / 5]02
[x4 / 4]02
= 32 / 5
16 / 4
= 1.6
Del mismo modo, buscando la coordenada y
Aplicando la fórmula, 
Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos
= y (2 – y1/3)dy (2 – y1/3) dy
= (2y – y4/3 ) dy
(2 – y1/3) dy
= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08
= 16 – 3/7(32)
= 2.29
Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)
Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objetobidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado
